INVERS FUNGSI
Suatu fungsi dengan sifat tertentu memiliki invers, fungsi tersebut adalah fungsi yang memiliki sifat bijektif atau korespondensi satu-satu. Begitu juga dengan komposisi fungsi. Komposisi dari dua buah fungsi yang memiliki invers juga akan memiliki invers. Perhatikan pengertian invers yang dijelaskan melalui gambar di bawah untuk membantu pemahaman.
Fungsi Invers
Misalkan suatu fungsi f(x) memiliki invers f^{-1}(x) dan g(x) memiliki invers g^{-1}(x). Komposisi f(x) dan g(x) juga akan memiliki invers. Komposisi invers ini memiliki sifat fungsi invers yang akan dijelaskan kemudian.
Pada gambar sebelah kiri ditunjukkan sebuah fungsi f(x) yang memiliki fungsi invers f^{-1}(x). Gambar di sebelah kanan adalah komposisi dua buah fungsi dan inversnya.
Sebelum membahas mengenai sifat invers pasa komposisi fungsi. Kita akan mempelajari terlabih dahulu proses mencari invers dari suatu fungsi. Penjelasan akan disajikan dalam bentuk soal dan pembahasan, jadi simak soal dan pembahasan tentang invers fungsi di bawah dengan baik.
Tentukan invers dari fungsi f(x) di bawah!
  \[ f(x) = \frac{4x - 3}{x + 2}\]
Pembahasan:
Misalkan f(x) = y, maka
  \[ y = \frac{4x - 3}{x + 2}\]
  \[ y \left( x + 2 \right) = 4x - 3 \]
  \[ xy + 2y = 4x - 3 \]
  \[ xy - 4x = - 3 - 2y \]
  \[ x \left( y - 4 \right) = - 3 - 2y \]
  \[ x  = \frac{- 3 - 2y}{ y - 4 } \]
  \[ x  = \frac{-\left(3 + 2y \right)}{ - \left(4 -  y \right)} \]
  \[ x  = \frac{3 + 2y}{4 - y} \]
Berdasarkan persamaan akhir di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi invers dari f(x) adalah
  \[ f^{-1}(x)  = \frac{3 + 2x}{4 - x} \]
Bagaimana, mudah bukan?
Cara menentukan invers suatu fungsi, seperti cara di atas, memang cukup panjang. Sebenarnya, ada rumus praktis untuk menentukan suatu fungsi invers. Meskipun demikian, sebaiknya sudah menguasai konsep pencarian invers suatu fungsi di atas terlebih dahulu. Hal ini akan bermanfaat untuk sobat  nantinya, juga akan bermanfaat ketika lupa rumus cepatnya.
Cara cepat mencari sebuah fungsi invers untuk bentuk tertentu dapat diperoleh dengan cara berikut.
Rumus cepat mencari invers fungsi
Kita akan menggunakan cara cepat mencari invers fungsi untuk menyelesaikan persoalan yang sama pada soal dan pembahasan invers fungsi di atas.
  \[ f(x) = \frac{4x - 3}{x + 2} \]
  \[ f^{-1}(x) = \frac{-2x - 3}{x - 4} \]
  \[ f^{-1}(x) = \frac{- \left( 2x + 3 \right)}{- \left(4 - x \right)} \]
  \[ f^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{4 - x} = \frac{3 + 2x}{4 - x} \]
Bagaimana? Hasilnya sama bukan dengan cara sebelumnya? Selanjutnya kita akan mempelajari sifat invers suatu fungsi.

Sifat Invers pada Komposisi Fungsi

Pembahasan sifat invers pada komposisi fungsi mempelajari hubungan kesamaan suatu fungsi invers dengan kesamaan lainnya. Sifat invers pada komposisi fungsi dapat membuat lebih tepat dalam menentukan langkah yang tepat untuk menyelesaikan variasi soal yang diberikan terkait komposisi fungsi.
Sifat Fungsi Invers pada komposisi fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah.
Sifat Fungsi Invers

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Invers Komposisi Fungsi
Jika f(x) = x + 2 dan g(x) = \frac{3 - x}{2x + 1} maka \left(f \circ g \right)^{-1}(x) adalah ….
  \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{x - 6}{5 - 2x} \]
  \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{x - 6}{2x - 5} \]
  \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{x + 6}{2x - 5} \]
  \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{x - 6}{2x + 5} \]
  \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{2x - 5}{x + 6} \]
Pembahasan:
  \[ \left(f \circ g \right)(x) = f \left( g(x) \right) \]
  \[ \left(f \circ g \right)(x) = f \left( \frac{3 - x}{2x + 1} \right) \]
  \[ \left(f \circ g \right)(x) = \frac{3 - x}{2x + 1} + 2 \]
  \[ \left(f \circ g \right)(x) = \frac{3 - x + 2(2x + 1)}{2x + 1} \]
  \[ \left(f \circ g \right)(x) = \frac{3 - x + 4x + 2)}{2x + 1} \]
  \[ \left(f \circ g \right)(x) = \frac{3x + 5)}{2x + 1} \]
Dengan cara cepat mencari fungsi invers, kita dapat secara mudah menentukan \left(f \circ g \right)^{-1}(x).
  \[ \left(f \circ g \right)^{-1}(x) = \frac{-x + 5}{2x - 3} \]
  \[ \left(f \circ g \right)^{-1}(x) = \frac{- \left(x - 5 \right)}{ - \left(3 - 2x \right) } \]
  \[ \left(f \circ g \right)^{-1}(x) = \frac{x - 5}{ 3 - 2x} \]
Jawaban: A


Sumber : https://idschool.net

0 comments:

Post a Comment

Search This Blog

Powered by Blogger.

Blog Archive